The
特定のものを指す定冠詞です。
casting
castの現在分詞形ですが、ここでは名詞的に「配役」「キャスティング」という意味で使われています。
director
「ディレクター」「監督」を意味します。
is
be動詞の現在形。ここでは主語と補語をつなぎます。
responsible
「責任がある」を意味します。
for
ここでは「~に対して」という責任の対象を示す前置詞です。
finding
findの現在分詞形ですが、ここでは動名詞として「見つけること」という意味で使われています。
the
特定のものを指す定冠詞です。
right
「適切な」「ふさわしい」を意味します。
actors.
「俳優たち」(actorの複数形)を意味します。