The debate
「その討論」「その議論」を指します。
became
「～になった」という意味で、変化を表す動詞「become」の過去形です。
quite uncivil
「かなり無礼な」「かなり無秩序な」という意味で、ここでは議論が荒れた状態を指します。
with participants
「参加者たちが～の状態で」という付帯状況を表します。
shouting
「叫んでいる」「大声を出している」という意味の動詞「shout」の現在分詞です。
over each other
「お互いの声をかき消して」「お互いに向かって」という意味で、混乱した状況を表します。