Zeta function

ˈzeɪtə ˈfʌŋkʃən ゼータ関数

1. リーマンゼータ関数として知られる複素数関数。素数の分布に関連し、数論において重要。

ゼータ関数は、主にリーマンゼータ関数を指し、複素数zに対して定義される数学関数です。素数の分布と深く関連しており、数論における最も重要な研究対象の一つです。リーマン予想はこの関数の零点に関するものです。

The Riemann Zeta function plays a crucial role in understanding the distribution of prime numbers. (リーマンゼータ関数は素数の分布を理解する上で重要な役割を果たします。)

• The Riemann Zeta function: 数論で重要な役割を果たす特定の数学関数です。
• plays a crucial role: 非常に重要な役割を果たす、という意味です。
• in understanding: ～を理解する上で、という意味です。
• the distribution of prime numbers: 素数がどのように配置されているか、そのパターンを指します。

Mathematicians are still trying to prove the Riemann Hypothesis, which concerns the non-trivial zeros of the Zeta function. (数学者たちは、ゼータ関数の自明でない零点に関するリーマン予想を今も証明しようと試みています。)

• Mathematicians: 数学者たちを指します。
• are still trying to prove: 今もなお証明しようと試みている、という意味です。
• the Riemann Hypothesis: リーマン予想という、未解決の数学的問題です。
• which concerns: ～に関する、という意味です。
• the non-trivial zeros: 特定の自明でない零点、つまり関数の値がゼロになる点のことです。
• of the Zeta function: ゼータ関数の、という意味です。

The analytical continuation of the Zeta function allows its definition to be extended to the entire complex plane. (ゼータ関数の解析接続により、その定義を複素平面全体に拡張することができます。)

• The analytical continuation: 解析接続という、関数の定義域を拡張する数学的手法を指します。
• of the Zeta function: ゼータ関数の、という意味です。
• allows its definition: その定義を可能にする、という意味です。
• to be extended: 拡張されること、という意味です。
• to the entire complex plane: 複素平面全体へ、という意味です。

2. より広義には、物理学や他の数学分野で使われる、ある種の特性を持つ関数全般を指す。

ゼータ関数は、リーマンゼータ関数が最も有名ですが、それ以外にもさまざまな分野で「ゼータ関数」と名付けられた関数が存在します。これらは通常、何らかの和や積の形で定義され、特定の数学的・物理的特性を表現します。

In quantum field theory, the path integral can sometimes be regularized using a Zeta function. (量子場理論では、経路積分がゼータ関数を使って正則化されることがあります。)

• In quantum field theory: 量子場理論という物理学の分野で、という意味です。
• the path integral: 経路積分という、量子論で確率振幅を計算する手法を指します。
• can sometimes be regularized: 時々、正則化されることがある、という意味です。
• using a Zeta function: ゼータ関数を用いて、という意味です。

There are various types of Zeta functions beyond the Riemann Zeta function, such as the Dedekind Zeta function. (リーマンゼータ関数以外にも、デデキントゼータ関数のような様々な種類のゼータ関数が存在します。)

• There are various types of Zeta functions: 様々な種類のゼータ関数がある、という意味です。
• beyond the Riemann Zeta function: リーマンゼータ関数以外にも、という意味です。
• such as: ～のような、という意味です。
• the Dedekind Zeta function: デデキントゼータ関数という、別のゼータ関数の一種です。

The Atiyah-Singer index theorem has connections to certain Zeta functions in geometry. (アティヤ＝シンガーの指数定理は、幾何学における特定のゼータ関数と関連があります。)

• The Atiyah-Singer index theorem: アティヤ＝シンガーの指数定理という、幾何学と解析学を結びつける定理を指します。
• has connections to: ～と関連がある、という意味です。
• certain Zeta functions: ある種のゼータ関数、という意味です。
• in geometry: 幾何学において、という意味です。

関連

• Riemann hypothesis
• number theory
• complex analysis
• L-function
• Dirichlet series