She
「彼女」という女性を指します。
was
「~であった」という過去の状態を表す動詞です。
an out-of-wedlock child
「婚外子」や「私生子」という意味で、結婚関係にない親から生まれた子供を指す表現です。
, but
「しかし」という逆接を表す接続詞です。
was fully accepted
「完全に受け入れられた」という意味で、受動態の形です。
by her father's family
「彼女の父親の家族によって」という意味で、誰によって受け入れられたかを示します。