New pups
「新しい子株」という意味の名詞句です。Newは「新しい」、pupsはpupの複数形です。
are growing
「成長している」という意味の現在進行形の動詞句です。areはbe動詞、growingは動詞grow「成長する」の現在分詞です。
around
「~の周りに」という前置詞です。
the base
「その根元」という意味の名詞句です。theは特定のものを指す冠詞、baseは「根元」「基部」という意味です。
of the succulent
「その多肉植物の」という意味の所有を示す句です。ofは所有を示す前置詞、the succulentは「その多肉植物」という意味です。