The comedian
「そのコメディアン」を指します。
built up
「徐々に構成した」「高めた」という意味で、話の展開を作り上げたことを表します。
the story
「その話」や「物語」を指します。
for five minutes
「5分間」という時間の長さを表します。
and then
「そして」「それから」と、時間の経過や次の行動を示します。
delivered
「述べた」「放った」という意味で、言葉やメッセージを発したことを表します。
a brilliant payoff line
「見事な落ちの台詞」「素晴らしい決め台詞」を意味し、物語やジョークの結びで最も効果的な部分を指します。
that had everyone
「それが皆を～させた」という結果を表す関係代名詞節です。
roaring with laughter
「爆笑している状態」を表す表現です。