He
「彼」という男性を指します。
is
be動詞。ここでは主語と補語をつなぎ「~である」という意味です。
getting ahead of himself
現在進行形(is getting)の get ahead of oneself。「彼は調子に乗りつつある」という意味です。
by
「~によって」「~することで」という意味の前置詞です。ここでは「~することで」という意味合いです。
promising
動詞 promise(約束する)の現在分詞形または動名詞。by の後に続く動名詞で「約束することによって」という意味です。
things
「物事」「こと」という一般的なものを指す複数形の名詞です。
he can't deliver
これは関係代名詞が省略された節で things を修飾しています。「彼が実行できない物事」という意味です。deliver は「実行する」「提供する」という意味です。
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文の終わりを示します。