faint hope

/feɪnt hoʊp/ フェイント ホープ

1. 成功の可能性が非常に低い、かすかな望みや期待。

何かが実現する可能性が極めて低い状況で、それでもなお残された、取るに足らないほどの期待や見込みを指します。実現の確率が非常に低いため、絶望に近いニュアンスを含みますが、完全に諦めてはいない状態を表します。
There's only a faint hope of finding survivors now. (今となっては、生存者が見つかる可能性はほとんどない。)

2. 実現の可能性がほとんどない、ごくわずかな期待や見込み。

成功や好転の可能性が極めて低いと認識しているにもかかわらず、かろうじて心の中に残っている、取るに足らないほどの期待感を指します。悲観的な状況の中で、それでも諦めきれない心の状態を表現します。
It was a faint hope, but he decided to try anyway. (それはかすかな希望だったが、彼はとにかく試すことにした。)
関連
remote chance
long shot
slender hope
dim hope
slight possibility