Against all expectations
「あらゆる予想に反して」という意味です。
the small company
「その小さな会社」を指します。
managed to
「なんとか~した」「どうにか~できた」という意味です。
beat the odds
不利な状況を克服して成功するという意味です。
and
前後の文や句をつなぐ「そして」という意味です。
thrive
「繁栄する」「成功する」という意味です。
in the competitive market
「競争の激しい市場で」という意味です。