Differential equation

ˌdɪfəˈrɛnʃəl ɪˈkweɪʒən ディファレンシャル イクエーション

1. 未知関数とその導関数を含む数学的な方程式。変化率や物理現象を記述するために用いられる。

微分方程式は、物理学、工学、経済学、生物学など、自然界や人工システムの変化の法則や現象を数学的に記述するために非常に重要な概念です。未知の関数がどのように変化するか（その導関数）を示すことで、未来の状態を予測したり、システムの挙動を理解したりするための基盤となります。

Solving a differential equation can describe the motion of a pendulum. (微分方程式を解くことで振り子の動きを記述できる。)

• Solving: 「解くこと」という行為を示します。
• a differential equation: 「微分方程式」という特定の数学的対象を指します。
• can describe: 「～を記述できる」という可能性を示します。
• the motion: 「動き」を指します。
• of a pendulum: 「振り子の」という関連を示します。

Many physical laws are expressed in terms of differential equations. (多くの物理法則は微分方程式で表現される。)

• Many physical laws: 「多くの物理法則」を指します。
• are expressed: 「表現される」という受動態です。
• in terms of: 「～の観点から」「～で」という意味の熟語です。
• differential equations: 「微分方程式」という特定の数学的対象を指します。

Numerical methods are often required to approximate solutions to complex differential equations. (複雑な微分方程式の解を近似するには、しばしば数値計算手法が必要とされる。)

• Numerical methods: 「数値計算手法」を指します。
• are often required: 「しばしば必要とされる」という受動態と頻度を表します。
• to approximate: 「～を近似するために」という目的を示します。
• solutions: 「解」を指します。
• to complex differential equations: 「複雑な微分方程式の」という対象を示します。

2. 微分方程式は、数学の一分野であり、未知関数とその導関数を用いて現象のモデル化や解析を行うための枠組みを提供する。

微分方程式は、物理学、工学、生物学、経済学など、多くの科学分野で中心的な役割を果たす数学的ツールです。時間や空間における量の変化を記述するために使用され、これによりシステムの動的挙動を予測したり、既知のデータから未知の関数を導き出したりすることが可能になります。常微分方程式（ODE）と偏微分方程式（PDE）という主要な二つのカテゴリがあります。

The study of differential equations is fundamental to understanding modern physics. (微分方程式の研究は、現代物理学を理解する上で不可欠である。)

• The study of differential equations: 「微分方程式の研究」を指します。
• is fundamental: 「根本的である」「基礎的である」という意味です。
• to understanding: 「理解することにとって」という目的や対象を示します。
• modern physics.: 「現代物理学」を指します。

An ordinary differential equation (ODE) involves derivatives with respect to only one independent variable. (常微分方程式（ODE）は、ただ一つの独立変数に関する導関数を含む。)

• An ordinary differential equation (ODE): 「常微分方程式」を指し、未知関数が1つの独立変数に依存する場合です。
• involves derivatives: 「導関数を含む」「導関数が関係する」という意味です。
• with respect to: 「～に関して」「～に関して言えば」という意味の熟語です。
• only one independent variable.: 「ただ一つの独立変数」を指します。

Partial differential equations (PDEs) are used to model phenomena like heat flow and wave propagation. (偏微分方程式（PDE）は、熱の流れや波の伝播のような現象をモデル化するために用いられる。)

• Partial differential equations (PDEs): 「偏微分方程式」を指し、未知関数が複数の独立変数に依存する場合です。
• are used: 「使用される」という受動態です。
• to model phenomena: 「現象をモデル化するために」という目的を示します。
• like heat flow: 「熱の流れ」のような例を示します。
• and wave propagation.: 「波の伝播」を指します。

関連

• Calculus
• Differentiation
• Integration
• Ordinary differential equation (ODE)
• Partial differential equation (PDE)
• Initial value problem
• Boundary value problem
• Mathematical modeling
• Calculus of variations