The detective
「その探偵」を指します。
found himself
「自身が~の状態にあることに気づいた」「~な状況に陥った」という意味です。
in a logical bind
「論理的な窮地」や「論理的な板挟み」といった、論理的な制約がある状況を指します。
when
「~の時に」という時間関係を示します。
the alibi
「アリバイ」「不在証明」を指します。
contradicted
「矛盾した」「反論した」という意味です。
all other evidence
「他のすべての証拠」を指します。