Dirichlet L-function

[ˈdɪrɪkleɪ ˈɛlˌfʌŋkʃən] ディリクレ エル-ファンクション

1. 数論における特別な種類の複素関数で、ディリクレ指標と関連付けられています。素数の分布の研究に用いられます。

この関数は、解析的整数論の中心的な概念であり、特に素数の分布に関するディリクレの算術級数定理の証明に不可欠です。リーマンゼータ関数を一般化したものです。

The Dirichlet L-function plays a crucial role in analytic number theory, especially in proving Dirichlet's theorem on arithmetic progressions. (ディリクレL関数は、解析的整数論において、特にディリクレの算術級数定理の証明において重要な役割を果たします。)

• The Dirichlet L-function: 数論における特定の複素関数を指します。
• plays a crucial role: 非常に重要な役割を果たすことを意味します。
• in analytic number theory: 数学の一分野である解析的整数論において。
• especially: 特に。
• in proving: 証明することにおいて。
• Dirichlet's theorem on arithmetic progressions: 特定の条件を満たす素数の無限性に関する定理です。

Leonhard Euler's product formula for the Riemann zeta function was generalized by Dirichlet to form the L-function. (レオンハルト・オイラーのリーマンゼータ関数の積公式は、ディリクレによってL関数を形成するために一般化されました。)

• Leonhard Euler's product formula: レオンハルト・オイラーが発見した積公式。
• for the Riemann zeta function: リーマンゼータ関数に関する。
• was generalized: 一般化された。
• by Dirichlet: ディリクレによって。
• to form the L-function: L関数を形成するために。

Understanding the zeros of Dirichlet L-functions is central to the generalized Riemann hypothesis. (ディリクレL関数の零点の理解は、一般化されたリーマン予想の中心です。)

• Understanding the zeros: 零点（関数がゼロになる点）を理解すること。
• of Dirichlet L-functions: ディリクレL関数に関する。
• is central to: ～にとって中心的である。
• the generalized Riemann hypothesis: リーマン予想を一般化した仮説。

2. リーマンゼータ関数を拡張したもので、ディリクレ指標 χ に依存し、特定の複素平面上で定義されます。

ディリクレL関数 L(s, χ) は、s を複素数、χ をディリクレ指標とする関数で、Re(s) > 1 で絶対収束するディリクレ級数として定義されます。これにより、リーマンゼータ関数 ζ(s) を χ が自明な指標の場合として包含します。

A non-vanishing Dirichlet L-function at s=1 is essential for the proof of Dirichlet's theorem on arithmetic progressions. (s=1におけるディリクレL関数の非零性は、ディリクレの算術級数定理の証明に不可欠です。)

• A non-vanishing: 零にならないこと、非零性。
• Dirichlet L-function: ディリクレL関数。
• at s=1: sが1の点において。
• is essential: 不可欠である。
• for the proof of: ～の証明にとって。
• Dirichlet's theorem on arithmetic progressions: ディリクレの算術級数定理。

Each Dirichlet L-function is associated with a unique Dirichlet character. (各ディリクレL関数は、固有のディリクレ指標と関連付けられています。)

• Each Dirichlet L-function: それぞれのディリクレL関数。
• is associated with: ～と関連付けられている。
• a unique Dirichlet character: 固有のディリクレ指標。

The values of Dirichlet L-functions at negative integers are often related to Bernoulli numbers. (ディリクレL関数の負の整数における値は、しばしばベルヌーイ数と関連しています。)

• The values: 値。
• of Dirichlet L-functions: ディリクレL関数の。
• at negative integers: 負の整数において。
• are often related to: しばしば～と関連している。
• Bernoulli numbers: ベルヌーイ数。数論や組合せ論に現れる数列。

関連

• Riemann zeta function
• Dirichlet character
• Analytic number theory
• Prime number theorem
• Dirichlet series