Prime number theorem

/ˌpraɪm ˈnʌmbər ˈθɪərəm/ プライム ナンバー スィアラム

1. 自然数の中での素数の分布の漸近的法則を示す数学の定理。

この定理は、非常に大きな数までの素数の個数を近似的に推定する方法を与えます。例えば、ある数Xまでの素数の個数π(X)は、およそXをその自然対数ln(X)で割った値に等しくなるというものです。

The Prime Number Theorem is a fundamental result in analytic number theory. (素数定理は、解析的整数論における基本的な成果である。)

• The Prime Number Theorem: 素数の出現頻度に関する数学の定理を指します。
• is a fundamental result: 非常に重要で基礎的な成果であることを意味します。
• in analytic number theory.: 数学の一分野である解析的整数論において、という意味です。

Understanding the Prime Number Theorem helps us grasp the density of primes. (素数定理を理解することは、素数の密度を把握するのに役立つ。)

• Understanding the Prime Number Theorem: 素数定理を理解すること、という行為を指します。
• helps us grasp: 私たちが把握するのを助ける、という意味です。
• the density of primes.: 素数がどれくらいの割合で存在するかという「素数の密度」を指します。

The proof of the Prime Number Theorem involves complex analysis. (素数定理の証明には複素解析が関わる。)

• The proof: 証明を意味します。
• of the Prime Number Theorem: 素数の分布に関する定理の、という意味です。
• involves complex analysis.: 数学の分野である複素解析を用いる、または含む、という意味です。

2. 素数の分布を漸近的に記述し、リーマン予想のようなより深い問題と関連する定理。

この定理は、19世紀末にジャック・アダマールとシャルル・ド・ラ・ヴァレ・プーサンによって独立に証明されました。その証明には、ゼータ関数という重要な数学的対象が用いられ、リーマン予想などの未解決問題との関連性も示唆しています。

The Prime Number Theorem was independently proven by Hadamard and de la Vallée Poussin. (素数定理は、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサンによって独立に証明された。)

• The Prime Number Theorem: 素数の分布に関する数学の定理を指します。
• was independently proven: 互いに連絡を取らずに別々に証明された、という意味です。
• by Hadamard and de la Vallée Poussin.: フランスの数学者アダマールとベルギーの数学者ド・ラ・ヴァレ・プーサンによって、という意味です。

Its connection to the Riemann Hypothesis makes the Prime Number Theorem even more significant. (リーマン予想との関連性により、素数定理はさらに重要性を増している。)

• Its connection: それ（素数定理）との関連性を指します。
• to the Riemann Hypothesis: 未解決の数学問題であるリーマン予想に対する、という意味です。
• makes the Prime Number Theorem: 素数定理を～にする、という意味です。
• even more significant.: さらに重要である、という意味です。

Early investigations into prime number distribution paved the way for the Prime Number Theorem. (素数分布に関する初期の研究が、素数定理への道を開いた。)

• Early investigations: 初期に行われた調査や研究を指します。
• into prime number distribution: 素数の分布に関する、という意味です。
• paved the way: ～への道を開いた、という意味の慣用句です。
• for the Prime Number Theorem.: 素数定理のために、という意味です。

関連

• Riemann Hypothesis
• Number theory
• Prime number
• Distribution of primes
• Analytic number theory
• Chebyshev function