He's
He is の短縮形。「彼が~である」という状態を表します。
so
「とても」「非常に」という意味で、程度を強調します。
conceited
「うぬぼれた」「思い上がった」という意味です。
that
「~なので…」という結果や程度を示す接続詞です。
he thinks
「彼は~だと考える」「彼は~だと思う」という意味です。
he's
he is の短縮形。「彼が~である」という状態を表します。
the best
「最高の」「一番良い」という意味です。
at everything
「あらゆることにおいて」「何でも」という意味です。