complex number

/ˈkɒmplɛks ˈnʌmbər/ コンプレックス ナンバー

1. 実数と虚数を組み合わせた数で、a + bi の形で表される。ここで i は虚数単位（i² = -1）。

実数と虚数を組み合わせることで、負の数の平方根など、実数では解けなかった数学的問題を扱うために導入された数の体系です。数学、物理学、工学など幅広い分野で利用されます。

The square root of negative one is an imaginary number, which is a component of a complex number. (マイナス1の平方根は虚数であり、それは複素数の構成要素です。)

• The square root of negative one: 「マイナス1の平方根」を指します。
• is an imaginary number: 「虚数である」ことを表します。
• which is a component of: 「〜の構成要素である」ことを示します。
• a complex number: 「複素数」を指します。

Complex numbers are essential in fields like electrical engineering and quantum mechanics. (複素数は、電気工学や量子力学のような分野で不可欠です。)

• Complex numbers: 「複素数」を指します。
• are essential: 「不可欠である」ことを示します。
• in fields like: 「〜のような分野で」ことを表します。
• electrical engineering: 「電気工学」を指します。
• and quantum mechanics: 「そして量子力学」を指します。

Every polynomial equation has at least one complex root, according to the Fundamental Theorem of Algebra. (代数学の基本定理によれば、すべての多項式方程式は少なくとも一つの複素数解を持ちます。)

• Every polynomial equation: 「すべての多項式方程式」を指します。
• has at least one complex root: 「少なくとも一つの複素数解を持つ」ことを示します。
• according to: 「〜によれば」ことを表します。
• the Fundamental Theorem of Algebra: 「代数学の基本定理」を指します。

2. 複素平面上の点として視覚化され、幾何学的な回転や拡大縮小などの変換を表現するのに用いられる数。

複素数は、複素平面（ガウス平面やアルガン図とも呼ばれる）上の点として視覚化できます。この視覚化により、複素数の乗算が幾何学的な回転と拡大縮小として理解でき、信号処理や制御理論などで重要なツールとなっています。

Complex numbers are often represented as points in the complex plane. (複素数はしばしば複素平面上の点として表されます。)

• Complex numbers: 「複素数」を指します。
• are often represented: 「しばしば表される」ことを示します。
• as points: 「点として」ことを表します。
• in the complex plane: 「複素平面で」ことを指します。

Multiplying a complex number by 'i' rotates it 90 degrees counter-clockwise on the Argand diagram. (複素数に 'i' を掛けると、アルガン図上で反時計回りに90度回転します。)

• Multiplying a complex number: 「複素数を掛けること」を指します。
• by 'i': 「'i' によって」ことを示します。
• rotates it: 「それを回転させる」ことを表します。
• 90 degrees counter-clockwise: 「反時計回りに90度」ことを表します。
• on the Argand diagram: 「アルガン図上で」ことを指します。

Euler's formula beautifully connects exponential functions with trigonometric functions through complex numbers. (オイラーの公式は、複素数を通して指数関数と三角関数を美しく結びつけます。)

• Euler's formula: 「オイラーの公式」を指します。
• beautifully connects: 「美しく結びつける」ことを表します。
• exponential functions: 「指数関数」を指します。
• with trigonometric functions: 「三角関数と」ことを示します。
• through complex numbers: 「複素数を通して」ことを表します。

関連

• Real number
• Imaginary number
• Complex plane
• Argand diagram
• Euler's formula
• Fundamental Theorem of Algebra
• Complex analysis