Fundamental Theorem of Algebra

[ˌfʌndəˈmɛntəl ˈθiːərəm əv ˈældʒɪbrə] ファンダメンタル スィーラム オブ アルジブラ

1. 複素係数を持つ非定数多項式には、少なくとも1つの複素根が存在することを主張する代数学の基本的な定理。

代数学における非常に重要な定理で、複素数の範囲で考えると、どのような非定数多項式であっても必ず根（解）が存在することを保証します。これにより、多項式方程式の解の存在に関する基礎が確立されます。

The Fundamental Theorem of Algebra states that every non-constant polynomial has at least one complex root. (代数学の基本定理は、すべての非定数多項式が少なくとも1つの複素根を持つと述べています。)

• The Fundamental Theorem of Algebra: 「代数学の基本定理」という、代数学における重要な定理の名称です。
• states that: 「〜と述べている」「〜と規定している」という意味で、定理や原則の内容を導入する際に使われます。
• every non-constant polynomial: 「すべての非定数多項式」を指します。定数でない多項式全体を意味します。
• has: 「持っている」「存在する」という意味で、この文では存在を表します。
• at least one: 「少なくとも1つの」という意味で、最低限の数を表します。
• complex root: 「複素根」を指します。複素数である根のことです。

Thanks to the Fundamental Theorem of Algebra, we know that polynomial equations always have solutions in the complex number system. (代数学の基本定理のおかげで、多項式方程式は常に複素数体系内で解を持つことがわかります。)

• Thanks to: 「〜のおかげで」という意味で、何かの理由や原因を表します。
• the Fundamental Theorem of Algebra: 「代数学の基本定理」です。前述と同じ概念を指します。
• we know that: 「私たちは〜と知っている」という意味で、既知の事実を導入します。
• polynomial equations: 「多項式方程式」を指します。多項式を含む方程式のことです。
• always have: 「常に持っている」「常に存在する」という意味で、永続的な存在を示します。
• solutions: 「解」「解決策」を意味し、この文脈では方程式の解を指します。
• in the complex number system: 「複素数体系内で」という意味で、解が存在する数の集合を示します。

The proof of the Fundamental Theorem of Algebra often involves concepts from complex analysis. (代数学の基本定理の証明には、しばしば複素解析の概念が関わってきます。)

• The proof of: 「〜の証明」を意味します。
• the Fundamental Theorem of Algebra: 「代数学の基本定理」です。
• often involves: 「しばしば〜を含む」「しばしば〜が関わる」という意味です。
• concepts from: 「〜からの概念」「〜に由来する概念」を意味します。
• complex analysis: 「複素解析」という数学の分野を指します。

2. 複素係数を持つn次多項式は、重複度を考慮すると、正確にn個の複素根を持つことを示す定理。

この定理は、単に根が存在するだけでなく、その多項式の次数（最高次の項の指数）と同じ数の根が、複素数の範囲で必ず見つかることを主張します。重なっている根（重複根）も個別に数え上げることで、この数が厳密に保たれます。

A quadratic equation, being a second-degree polynomial, has two complex roots according to the Fundamental Theorem of Algebra. (2次方程式は2次多項式なので、代数学の基本定理によれば2つの複素根を持ちます。)

• A quadratic equation: 「2次方程式」を指します。最高次が2の多項式からなる方程式です。
• being a second-degree polynomial: 「2次多項式であること」を意味し、前述の「2次方程式」の性質を補足しています。
• has: 「持っている」という意味です。
• two complex roots: 「2つの複素根」を指します。
• according to: 「〜によると」「〜に従って」という意味で、情報源を示します。
• the Fundamental Theorem of Algebra: 「代数学の基本定理」です。

Even if a polynomial has real coefficients, its roots might be complex as per the Fundamental Theorem of Algebra. (たとえ多項式が実数係数を持っていても、代数学の基本定理に従ってその根は複素数である可能性があります。)

• Even if: 「たとえ〜だとしても」という意味で、譲歩を表します。
• a polynomial: 「多項式」を指します。
• has real coefficients: 「実数係数を持っている」を意味します。係数が実数である状態です。
• its roots: 「その根」を指します。多項式の根のことです。
• might be: 「〜かもしれない」という意味で、可能性を示します。
• complex: 「複素数である」を意味します。
• as per: 「〜に従って」「〜の通りに」という意味で、何かを参照する際に使われます。
• the Fundamental Theorem of Algebra: 「代数学の基本定理」です。

Understanding the Fundamental Theorem of Algebra is crucial for advanced studies in algebra. (代数学の基本定理を理解することは、代数学の高度な研究にとって不可欠です。)

• Understanding: 「理解すること」という意味です。
• the Fundamental Theorem of Algebra: 「代数学の基本定理」です。
• is crucial for: 「〜にとって不可欠である」「〜にとって極めて重要である」という意味です。
• advanced studies: 「高度な研究」「上級の学習」を指します。
• in algebra: 「代数学において」という意味です。

関連

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