1.
（事実や真実などを）認める、受け入れる
ある事柄や存在が真実である、または実際に存在することを認めたり、受け入れたりする様子を表します。
He
acknowledged
that
he
had
made
a
mistake.
(彼は自分が間違いを犯したことを認めた。)
He
「彼」を指します。
acknowledged
「認めた」という意味です。（acknowledgeの過去形）
that he had made a mistake
「彼が間違いを犯したこと」という意味です。
It
was
widely
acknowledged
that
the
project
was
a
success.
(そのプロジェクトが成功だったことは広く認められていた。)
It
「それ」を指します。
was widely acknowledged
「広く認められていた」という意味です。（acknowledgeの受動態）
that the project was a success
「そのプロジェクトは成功だった」という意味です。
She
acknowledged
the
difficulty
of
the
task.
(彼女はその仕事の難しさを認めた。)
She
「彼女」を指します。
acknowledged
「認めた」という意味です。（acknowledgeの過去形）
the difficulty
「その難しさ」という意味です。
of the task
「その仕事の」という意味です。
2.
（人などに）気づいてあいさつする、認識を示す
誰かや何かに気づいたことを示したり、簡単な挨拶や合図で相手に自分の存在を知らせたりする様子を表します。
She
acknowledged
him
with
a
nod.
(彼女はうなずいて彼に気づいたことを示した。)
She
「彼女」を指します。
acknowledged him
「彼に気づいたことを示した」という意味です。
with a nod
「うなずいて」という意味です。
He
didn't
acknowledge
me
as
he
walked
by.
(彼は通り過ぎる時、私に気づいたことを示さなかった（応答しなかった）。)
He
「彼」を指します。
didn't acknowledge me
「私に気づいたことを示さなかった」「私に応答しなかった」という意味です。（過去の否定形）
as he walked by
「彼が通り過ぎる時」という意味です。
He
didn't
acknowledge
my
presence
in
the
room.
(彼は部屋の中に私がいることに気づいたことを示さなかった。)
He
「彼」を指します。
didn't acknowledge
「気づいたことを示さなかった」「認めなかった」という意味です。（過去の否定形）
my presence
「私の存在」という意味です。
in the room
「部屋の中にいる」という意味です。
3.
（受け取った物などに対し）感謝を伝える、受領を知らせる
受け取ったものに対して感謝の意を示したり、確かに受け取ったことを相手に伝えたりする際に使われます。
Please
acknowledge
receipt
of
this
email.
(このメールを受け取ったことをお知らせください。)
Please
丁寧な依頼を表す言葉です。
acknowledge receipt
「受領を知らせてください」「受け取ったことを確認してください」という意味です。
of this email
「このメールの」という意味です。
He
acknowledged
the
support
he
received.
(彼は受けた支援に感謝を伝えた。)
He
「彼」を指します。
acknowledged
「感謝を伝えた」「認めた」という意味です。（acknowledgeの過去形）
the support
「その支援」という意味です。
he received
「彼が受けた」という意味です。
She
sent
a
letter
to
acknowledge
their
donation.
(彼女は彼らの寄付に対し、感謝を伝えるために手紙を送った。)
She
「彼女」を指します。
sent a letter
「手紙を送った」という意味です。
to acknowledge
「認めるために」「感謝を伝えるために」という意味です。（to不定詞で目的を表す）
their donation
「彼らの寄付」という意味です。
4.
（自分の過ちや責任などを）認める
自分がしたことの責任を認めたり、失敗や過ちがあったことを率直に認めたりする際に使われます。
He
finally
acknowledged
his
part
in
the
scandal.
(彼はついにそのスキャンダルにおける自分の関与を認めた。)
He
「彼」を指します。
finally
「ついに」という意味です。
acknowledged
「認めた」という意味です。（acknowledgeの過去形）
his part
「彼の関与」「彼の役割」という意味です。
in the scandal
「そのスキャンダルにおける」という意味です。
She
was
reluctant
to
acknowledge
her
mistake.
(彼女は自分の間違いを認めるのを嫌がった。)
She
「彼女」を指します。
was reluctant
「気が進まなかった」「嫌がっていた」という意味です。
to acknowledge
「認めること」という意味です。（to不定詞）
her mistake
「彼女の間違い」という意味です。
They
refused
to
acknowledge
their
responsibility
for
the
failure.
(彼らは失敗に対する自分たちの責任を認めることを拒否した。)
They
「彼ら」を指します。
refused
「拒否した」という意味です。（refuseの過去形）
to acknowledge
「認めること」という意味です。（to不定詞）
their responsibility
「彼らの責任」という意味です。
for the failure
「その失敗に対する」という意味です。