Cauchy-Riemann equations

ˈkoʊʃi ˈriːmən ɪˈkweɪʒənz コーシー・リーマン方程式

1. 複素関数が複素微分可能（正則）であるための必要十分条件を与える一対の偏微分方程式。

これらの偏微分方程式は、複素関数が複素解析的（正則）であるための必要十分条件を与えます。複素微分可能性の概念と深く関連しており、複素解析の中心的な概念の一つです。

The Cauchy-Riemann equations are fundamental in complex analysis. (コーシー・リーマン方程式は複素解析において基礎的です。)

• The: 特定のものを指す定冠詞です。
• Cauchy-Riemann equations: オーギュスタン＝ルイ・コーシーとベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた、複素解析における基本的な一連の偏微分方程式です。
• are: 「～である」という存在や状態を表す動詞です。
• fundamental: 基礎的な、基本的な、といった意味を持つ形容詞です。
• in: ～の中で、～において、といった場所や分野を示す前置詞です。
• complex analysis: 複素数を変数とする関数を研究する数学の分野です。

To verify if a complex function is analytic, one must check if it satisfies the Cauchy-Riemann equations. (複素関数が解析的であるかを確認するには、コーシー・リーマン方程式を満たしているかをチェックしなければなりません。)

• To verify: ～を検証するために、～を確認するために、という意味です。
• if a complex function: もしある複素関数が、という意味です。
• is analytic: 解析的である、という意味です。
• one must check: 人は～を確認しなければならない、という意味です。
• if it satisfies: もしそれが～を満たすならば、という意味です。
• the Cauchy-Riemann equations.: コーシー・リーマン方程式を指します。

Solutions to the Laplace equation are related to functions satisfying the Cauchy-Riemann equations. (ラプラス方程式の解は、コーシー・リーマン方程式を満たす関数と関連しています。)

• Solutions: 解、解決策、といった意味です。ここでは数学的な「解」を指します。
• to the Laplace equation: ラプラス方程式に対する、という意味です。
• are related: 関連している、という意味です。
• to functions: 関数に、という意味です。
• satisfying: ～を満たす、～に合致する、という意味です。
• the Cauchy-Riemann equations.: コーシー・リーマン方程式を指します。

If a function is holomorphic, then its real and imaginary parts satisfy the Cauchy-Riemann equations. (もし関数が正則であれば、その実部と虚部はコーシー・リーマン方程式を満たします。)

• If a function: もしある関数が、という意味です。
• is holomorphic: 正則である、複素微分可能である、という意味です。
• then its real and imaginary parts: その関数の実部と虚部が、という意味です。
• satisfy: ～を満たす、という意味です。
• the Cauchy-Riemann equations.: コーシー・リーマン方程式を指します。

The derivation of the Cauchy-Riemann equations involves differentiating with respect to complex variables. (コーシー・リーマン方程式の導出は、複素変数に関する微分を含みます。)

• The derivation: 導出、引き出し、といった意味です。
• of the Cauchy-Riemann equations: コーシー・リーマン方程式の、という意味です。
• involves: ～を伴う、～を含む、という意味です。
• differentiating: 微分すること、という意味です。
• with respect to complex variables.: 複素変数に関して、という意味です。

These equations are named after Augustin-Louis Cauchy and Bernhard Riemann. (これらの方程式は、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられています。)

• These equations: これらの方程式、という意味です。
• are named after: ～にちなんで名付けられている、という意味です。
• Augustin-Louis Cauchy: オーギュスタン＝ルイ・コーシー、フランスの数学者の名前です。
• and Bernhard Riemann.: ベルンハルト・リーマン、ドイツの数学者の名前です。

関連

• Complex analysis
• Holomorphic function
• Analytic function
• Partial differential equations
• Cauchy integral formula
• Laplace equation