soldier on

ˈsoʊldʒər ɑːn ソルジャー オン

1. 困難や苦痛にもかかわらず、粘り強く続ける。

困難や逆境、疲労などがあっても、弱音を吐かず、目標達成ややるべきことのためにひたすら続ける、という意味合いです。まるで兵士が困難な状況下でも任務を遂行し続けるイメージです。
Despite the pain, he soldiered on to finish the race. (痛みにもかかわらず、彼はレースを終えるために粘り強く続けた。)

2. (特定の活動や仕事などを)諦めずに続ける。

困難な状況、疲労、退屈などがあっても、途中で諦めたり投げ出したりせず、続けるべき活動や仕事をやり遂げようとする様子を表します。特に、体力的・精神的な負担が大きい状況で使われます。
Despite the setbacks, they soldiered on with the project. (挫折にもかかわらず、彼らはプロジェクトを諦めずに続けた。)