on the condition that

/ɒn ðə kənˈdɪʃən ðæt/ オン ザ コンディション ザット

1. 何かが成立するための前提条件を示す。

ある行動や結果が、特定の状況や合意事項が満たされることを前提としていることを示す表現です。
You can borrow my car on the condition that you fill up the tank. (ガソリンを満タンにするという条件で、私の車を借りていいよ。)