manage

/ˈmænɪdʒ/ マネージ

1. 人や物事、組織などをまとめて統率し、うまく機能させること。

責任を持って人や物、組織を指揮・運営し、目標達成や維持を図るイメージです。
She manages the marketing department. (彼女はマーケティング部を管理しています。)

2. 困難な状況や問題をうまく対処したり、切り抜けたりすること。

手ごわい状況や厄介な問題をうまく乗り越えたり、適切に扱ったりするイメージです。感情を制御する際にも使われます。
He finds it hard to manage his anger. (彼は怒りを抑えるのが難しいと感じています。)

3. 不十分な状況や困難な状況の中で、どうにか生活したり目標を達成したりすること。

お金や時間、体力などが少ない状況で、工夫してなんとか生活したり、困難な状況を乗り越えたりするイメージです。
We managed on a small budget. (私たちは少ない予算でなんとかやりくりしました。)

4. 困難や努力にもかかわらず、なんとかして特定の行動を成し遂げること。「manage to + 動詞」の形で使われます。

難しかったり、大変だったりしたにもかかわらず、努力の結果として最終的に目的の行動ができた、というニュアンスです。
I managed to finish the report on time. (なんとか時間内にレポートを終えることができました。)
関連
oversee
run
administer
cope
deal with
overcome