1.
何かを見つけようと探すこと。
失くしたものや、どこにあるかわからないものを、意図的に見つけ出そうと探す動作を表します。努力して探し出すニュアンスがあります。
They
are
seeking
refuge
from
the
storm.
(彼らは嵐から避難場所を探しています。)
They
彼ら（複数の人）を指します。
are seeking
「seek（探す）」の現在進行形です。今探している途中であることを示します。
refuge
避難場所や隠れ家を指します。
from
～から、～を避けて、といった由来や理由を示します。
the storm
その特定の嵐を指します。
He
is
seeking
the
truth.
(彼は真実を探しています。)
He
彼（特定の男性）を指します。
is seeking
「seek（探す）」の現在進行形です。今探している途中であることを示します。
the truth
真実を指します。
The
children
are
seeking
easter
eggs.
(子供たちはイースターエッグを探しています。)
The children
子供たち（複数の子供）を指します。
are seeking
「seek（探す）」の現在進行形です。今探している途中であることを示します。
easter eggs
イースターエッグを指します。
2.
援助、情報、意見などを誰かや何かから得ようとすること。
問題解決のために、他者からの支援や情報などを求めたり、請願したりする行為を表します。受動的ではなく、能動的に働きかけるニュアンスがあります。
You
should
seek
professional
advice.
(専門家のアドバイスを求めるべきです。)
You
あなたを指します。
should
～すべきである、という助言や義務を表す助動詞です。
seek
求めたり、得ようとしたりすることを表します。
professional advice
専門家による助言や忠告を指します。
She
sought
help
from
her
friends.
(彼女は友達に助けを求めました。)
She
彼女（特定の女性）を指します。
sought
「seek（求める）」の過去形です。過去に求めたことを示します。
help
助けや援助を指します。
from
～から、という由来や相手を示します。
her friends
彼女の友達たちを指します。
Many
people
seek
happiness
in
life.
(多くの人が人生に幸福を求めます。)
Many people
多くの人々を指します。
seek
求めたり、得ようとしたりすることを表します。
happiness
幸福を指します。
in life
人生において、人生の中で、といった状況を示します。
3.
特定の目標や結果を得ようと努力すること。
達成したい状態や目標に向かって、積極的に行動し、努力を重ねることを表します。キャリアアップや平和などを目指す場合に使われます。
She
is
seeking
a
better
job.
(彼女はより良い仕事を探しています（目指しています）。)
She
彼女（特定の女性）を指します。
is seeking
「seek（目指す）」の現在進行形です。今探している（目指している）途中であることを示します。
a better job
今の仕事よりもっと良い仕事、より条件の良い仕事を指します。
They
seek
peace
and
harmony.
(彼らは平和と調和を目指しています。)
They
彼ら（複数の人）を指します。
seek
目指したり、得ようとしたりすることを表します。
peace
平和を指します。
and
そして、～と、といった要素を結びつけます。
harmony
調和を指します。
He
is
seeking
to
improve
his
skills.
(彼はスキルの向上を目指しています。)
He
彼（特定の男性）を指します。
is seeking
「seek（目指す）」の現在進行形です。今探している（目指している）途中であることを示します。
to improve
改善しようとすること、向上させることを目指す不定詞句です。
his skills
彼のスキル（技能）を指します。