hope against hope

/ˌhoʊp əˈɡɛnst ˈhoʊp/ ホープ・アゲンスト・ホープ

1. 絶望的な状況でも希望を抱き続ける。成功の見込みがないにもかかわらず、願い続けること。

成功の見込みがほとんどない、あるいは全くない状況であっても、ひたすら希望を持ち続ける様子を表します。論理的には無理だと分かっていても、感情的に諦めきれない場合に用いられます。
She continued to hope against hope that her missing son would return home safely. (彼女は、行方不明の息子が無事に帰宅することを、望みがないにもかかわらず希望し続けた。)
関連
cling to hope
last hope
desperate hope