on condition that

/ˌɒn kənˈdɪʃən ðæt/ オン コンディション ザット

1. 〜という条件で、もし〜ならば

この表現は、ある行動や状況が成立するための前提となる条件を明確に示したいときに使われます。通常、文の後半で条件節として用いられます。「もし〜ならば」と似ていますが、「〜という条件を満たせば」というニュアンスが強調されます。
You can borrow my car on condition that you fill up the tank. (ガソリンを満タンにするという条件で、私の車を借りていいですよ。)

2. 但し、ただし

「ただし」のように、前の内容に条件や例外を加える際に使われることもあります。この場合も基本的には「〜という条件で」と同じ構造ですが、文脈によっては補足的な意味合いが強くなります。
You can leave early on condition that you finish all your work. (早く帰っても良い、ただし全ての仕事を終えるという条件で。)