The detective
「その探偵」を指します。
pursued
「追跡した」「追求した」という意味です。
the lead
「手がかり」を指します。
with
「～を持って」という意味で、ここでは確信を抱いて追ったことを示します。
an irresistible notion
「抑えがたい確信」「抗しがたい思い」を意味します。
that
接続詞で、後ろに続く節が前の名詞（notion）の内容を説明します。
it
「それ」を指し、ここでは手がかりが事件を解決することを示します。
would solve
「解決するだろう」という未来の推測を表します。
the case
「その事件」を指します。