Laurent series

/ˈlɔːrənt ˈsɪəriːz/ ローラン・シリーズ

1. 複素解析において、複素関数を特定の点の周りで展開した級数で、テイラー級数と負のベキの項を含むもの。

複素解析において、複素関数をある点の周りでテイラー級数と負のベキの項を含む形で展開したものです。これは、関数の特異点の周りの挙動を分析する際に特に有用です。例えば、孤立特異点の種類（可除特異点、極、真性特異点）を分類するために使用されます。

The Laurent series is crucial for understanding the behavior of functions near isolated singularities. (ローラン級数は、孤立特異点の近くでの関数の挙動を理解する上で非常に重要です。)

• The Laurent series: ローラン級数を指します。
• is crucial: 非常に重要である、不可欠であるという意味です。
• for understanding: 理解するために、理解する上でという意味です。
• the behavior: 挙動、振る舞いを指します。
• of functions: 関数の、関数に関するという意味です。
• near isolated singularities: 孤立特異点の近くで、という意味です。

We can determine the principal part of a function's Laurent series to classify its singularity. (関数のローラン級数の主要部を決定することで、その特異点を分類できます。)

• We: 私たち、ここでは一般的な主体を指します。
• can determine: 決定できる、突き止められるという意味です。
• the principal part: 主要部、主要な部分を指します。
• of a function's: ある関数の、という意味です。
• Laurent series: ローラン級数を指します。
• to classify: 分類するために、分類するという目的を表します。
• its singularity: その特異点、という意味です。

A function that is analytic in an annulus can be represented by a unique Laurent series in that annulus. (環状領域で解析的な関数は、その環状領域内で一意のローラン級数によって表現できます。)

• A function: ある関数を指します。
• that is analytic: 解析的である、という意味で、関数が微分可能であることを指します。
• in an annulus: 環状領域内で、という意味です。
• can be represented: 表現できる、表現されうるという意味です。
• by a unique: 一意の、ただ一つのという意味です。
• Laurent series: ローラン級数を指します。
• in that annulus: その環状領域内で、という意味です。

関連

• Taylor series
• Complex analysis
• Singularity
• Residue theorem
• Power series
• Annulus