To share
「～を共有するために」という目的を表します。
user authentication status
「ユーザー認証の状況」を指します。ユーザーがログインしているか、どのような権限を持っているかなどの情報です。
across different parts of the app
「アプリの異なる部分全体で」という意味です。アプリケーション内の様々な画面やコンポーネントを指します。
implement
「～を実装する」という意味です。プログラミングにおいて、特定の機能やシステムを作り上げることを指します。
the Context API
Reactにおけるコンポーネント間データ共有の仕組みを指します。