We
「私たち」という、話者を含む複数の人を指します。
use
「使用する」という行為を表します。
a third-party
「第三者の」という意味で、自社ではない外部の提供元を指します。
API
"Application Programming Interface"の略で、ソフトウェアが互いに通信するためのインターフェースを指します。
to integrate
「統合する」という目的を表す不定詞句の一部です。
payment processing
「支払い処理」という意味で、クレジットカード決済などの取引を指します。