My parrot
「私のオウム」という飼っている鳥を指します。
is starting to
「~し始めている」という進行中の状態を表します。
shed feathers
「羽毛を落とす」という鳥の自然な行動を指します。
which means
前の文の内容を受けて「それは~を意味する」という接続詞句です。
new ones
この場合「新しい羽毛」を指します。
will grow
「成長する」「生えるだろう」という未来の出来事を表します。
soon
「まもなく」「すぐに」という時間を表します。