She
「彼女」という女性を指します。
worked hard
「一生懸命働いた」という意味です。
for years
「何年もの間」という意味です。
but
「しかし」という逆接を表します。
let slip through her fingers
「～を逃す」「～を取り逃がす」という慣用句です。ここでは「昇進を逃す」という意味で使われています。
the promotion
「その昇進」を指します。
by making
「～することによって」という手段を表します。
a critical error
「致命的なミス」という意味です。