complete metric space

[kəmˈpliːt ˈmɛtrɪk speɪs] コンプリート メトリック スペース

1. すべてのコーシー列がその空間内で収束する距離空間。

完備距離空間とは、数学の分野、特に解析学やトポロジーにおいて用いられる概念です。この空間では、任意のコーシー列（要素間の距離が十分に小さくなるような数列）が必ずその空間内の点に収束します。直感的には、「抜け穴」や「境界の欠落」がない、完全に閉じている空間と考えることができます。

The set of real numbers R with the usual metric is a complete metric space. (通常の距離を持つ実数の集合Rは完備距離空間です。)

• The set of real numbers R: 実数Rの集合を指します。
• with the usual metric: 通常の距離（例えばユークリッド距離）を用いると、という意味です。
• is a complete metric space: 完備距離空間である、という状態を表します。

Every closed subset of a complete metric space is itself a complete metric space. (完備距離空間のすべての閉部分集合は、それ自身が完備距離空間です。)

• Every closed subset: すべての閉じた部分集合を意味します。
• of a complete metric space: 完備距離空間の、という意味です。
• is itself a complete metric space: それ自身が完備距離空間である、という特性を示します。

A metric space is complete if and only if every Cauchy sequence in it converges. (ある距離空間が完備であるのは、その空間内のすべてのコーシー列が収束するとき、かつそのときに限る。)

• A metric space is complete: ある距離空間が完備である、という状態を述べています。
• if and only if: 〜の場合に限り、または〜のとき、かつそのときに限る、という同値条件を示します。
• every Cauchy sequence in it converges: その空間内のすべてのコーシー列が収束する、という意味です。

Banach spaces are examples of complete metric spaces. (バナッハ空間は完備距離空間の例です。)

• Banach spaces: バナッハ空間とは、特定の性質を持つ線形空間のことです。
• are examples of: 〜の例である、という意味です。
• complete metric spaces: 完備距離空間を指します。

To show that a space is complete, one must demonstrate that all Cauchy sequences converge within that space. (ある空間が完備であることを示すには、すべてのコーシー列がその空間内で収束することを示さなければなりません。)

• To show that a space is complete: ある空間が完備であることを示すために、という意味です。
• one must demonstrate that: 〜であることを証明しなければならない、という意味です。
• all Cauchy sequences converge: すべてのコーシー列が収束する、という意味です。
• within that space: その空間内で、という意味です。

関連

• Metric space
• Cauchy sequence
• Banach space
• Hilbert space
• Topology
• Functional analysis