He
「彼」という男性を指します。
accidentally
「うっかり」「偶然に」という意味です。
let slip
「うっかり口を滑らせる」「秘密を漏らす」という意味の句動詞です。
some sensitive information
「いくらかの機密情報」という意味です。
proving
「～であることを証明している」という、結果や根拠を示す分詞構文です。
he's
「彼は～である」という「he is」の短縮形です。
quite the blabbermouth
「かなりの口の軽い人」という意味で、その性質を強調します。