After years of sobriety
何年もの禁酒の後。禁酒とはアルコールを摂取しない状態のことです。
he
彼(男性を指す代名詞)です。
suffered
苦しんだ、経験した、という意味の動詞「suffer」の過去形です。ここでは「体験した」というニュアンスです。
a backsliding
後退、逆戻り、という意味です。ここでは「悪い状態に戻ること」を指します。
and
そして、という意味で、前の出来事と次の出来事を繋ぐ役割をします。
started drinking again
再び酒を飲み始めた、という意味です。「start drinking」で「酒を飲み始める」、「again」で「再び」となります。