Despite the initial setbacks
「初期の挫折にもかかわらず」という意味。
the small startup
「その小さなスタートアップ企業」を指します。
managed to
「どうにか～することができた」「なんとか～した」という努力の結果を示します。
succeed against odds
「困難を乗り越えて成功する」「不利な状況で成功する」という意味のイディオムです。
and become a market leader
「そして市場のリーダーになる」という結果を表します。