She
「彼女」という女性を指します。
managed to
「なんとか～した」、「どうにか～できた」という意味で、困難な状況で何かを成し遂げたことを示唆します。
achieve
「達成する」、「成し遂げる」という意味です。
despite
「～にもかかわらず」という意味で、困難な状況が存在しても、それが妨げにならなかったことを示します。
adversity
「逆境」、「困難」、「不運」という意味です。
and
「そして」、前後の文や句をつなぐ接続詞です。
built
「築いた」、「建設した」という意味で、ここでは会社を設立し成長させたことを指します。（buildの過去形）
a successful company
「成功した会社」を指します。