She
「彼女」という女性を指します。
finally
「ついに」「とうとう」という意味で、長い間のことや結果を強調します。
resigned herself to
「～を受け入れる」「～に甘んじる」という意味の表現です。この場合は三人称単数女性形に合わせて「herself」が使われています。
living alone
「一人で生活すること」を指します。「living」は動名詞です。
after
「～の後で」という時を表す接続詞です。
her children
「彼女の子供たち」を指します。
moved out
「家を出る」「独立する」という意味の句動詞です。