futile hope

[ˈfjuːtaɪl hoʊp] フュータイル ホープ

1. 実現の見込みがない、または無益な期待や願い。

どんなに強く願っても、実現する可能性が全くない、あるいは努力しても結果が出ずに終わるであろう期待や願いを表します。絶望的な状況や、目標達成への試みが無意味であることを強調する際に用いられます。
He clung to a futile hope that his lost dog would return. (彼は迷子になった犬が戻ってくるというむなしい希望にしがみついていた。)
関連
hopeless expectation
impossible dream
pointless effort