The Library of Alexandria
「アレクサンドリア図書館」という特定の古代図書館を指します。
was
「～であった」という過去の存在を示します。
one of the most famous
「最も有名なものの一つ」という意味で、数ある有名施設の中でも特に傑出していたことを強調します。
and influential centers
「そして影響力のある中心地」という意味で、その施設が持つ学術的・文化的な重要性を示します。
of learning
「学問の」という意味で、その施設が知識や研究に関連していたことを示します。
in the ancient world
「古代世界において」という場所と時代を限定します。