Galois theory

ˈɡælwɑː ˈθiːəri ガロア・セオリー

1. 方程式の解の公式の存在条件などを群の構造を用いて研究する数学の分野。

ガロア理論は、代数方程式の根の性質を研究するために、群論と呼ばれる数学の分野を導入したものです。特に、方程式の解が四則演算と冪根によって表せるかどうか（つまり、解の公式が存在するかどうか）を、その方程式の対称性（ガロア群）を使って判定します。これにより、例えば5次以上の一般の代数方程式には、四則演算と冪根による解の公式が存在しないことが証明されました。

Galois theory provides a deep understanding of the solvability of polynomial equations. (ガロア理論は多項式方程式の可解性について深い理解を提供します。)

• Galois theory: 数学の一分野である「ガロア理論」を指します。
• provides: 「提供する」「与える」という意味の動詞です。
• a deep understanding: 「深い理解」という意味です。
• of the solvability: 「可解性」という意味で、方程式が解ける性質を指します。
• of polynomial equations: 「多項式方程式の」という意味で、多項式からなる方程式を指します。

Many universities offer advanced courses in Galois theory. (多くの大学がガロア理論の上級コースを開講しています。)

• Many universities: 「多くの大学」を指します。
• offer: 「提供する」「開講する」という意味の動詞です。
• advanced courses: 「上級コース」「専門課程」を指します。
• in Galois theory: 「ガロア理論において」「ガロア理論に関する」という意味です。

The fundamental theorem of Galois theory establishes a correspondence between field extensions and groups. (ガロア理論の基本定理は、体の拡大と群の間に対応関係を確立します。)

• The fundamental theorem: 「基本定理」を指します。
• of Galois theory: 「ガロア理論の」という意味です。
• establishes: 「確立する」「設定する」という意味の動詞です。
• a correspondence: 「対応」「相関関係」を指します。
• between field extensions: 「体の拡大」という数学的概念を指します。
• and groups: 「と群」という意味で、群論における群を指します。

2. 19世紀フランスの数学者エヴァリスト・ガロアによって創始された、代数方程式の根の対称性を群論を用いて研究する理論。

ガロア理論は、弱冠20歳で夭折したフランスの数学者エヴァリスト・ガロアによって、その基礎が築かれました。彼は、代数方程式の解の構造と、その解を入れ替える操作（置換）がなす群（ガロア群）との間に本質的な関連があることを発見しました。この理論は、単に方程式の可解性を決定するだけでなく、抽象代数学の発展に絶大な影響を与え、現代数学の基礎の一つとなっています。

Évariste Galois developed the foundational concepts of Galois theory in the early 19th century. (エヴァリスト・ガロアは19世紀初頭にガロア理論の基礎概念を確立しました。)

• Évariste Galois: 19世紀のフランスの数学者の名前です。
• developed: 「開発した」「発展させた」という意味の動詞です。
• the foundational concepts: 「基礎的な概念」を指します。
• of Galois theory: 「ガロア理論の」という意味です。
• in the early 19th century: 「19世紀初頭に」という意味です。

His work on Galois theory was recognized posthumously as a significant contribution to mathematics. (ガロア理論に関する彼の業績は、数学への重要な貢献として死後に認められました。)

• His work: 「彼の業績」または「彼の研究」を指します。
• on Galois theory: 「ガロア理論に関する」という意味です。
• was recognized: 「認識された」「認められた」という意味の受動態です。
• posthumously: 「死後に」という意味の副詞です。
• as a significant contribution: 「重要な貢献として」という意味です。
• to mathematics: 「数学への」という意味です。

Galois theory laid the groundwork for modern abstract algebra. (ガロア理論は現代抽象代数学の基礎を築きました。)

• Galois theory: 数学の一分野である「ガロア理論」を指します。
• laid the groundwork: 「基礎を築いた」という意味の熟語です。
• for modern abstract algebra: 「現代抽象代数学のための」という意味です。

関連

• Abstract algebra
• Group theory
• Field extension
• Polynomial equations
• Évariste Galois
• Solvability by radicals