He
「彼」を指す代名詞です。
didn't
「~しなかった」という意味の did not の短縮形です。
have
ここでは「持っている」という意味ですが、慣用句的に「~する気力がない」「~に耐える力がない」という意味で使われます。
the
特定のものを指す定冠詞です。ここでは「(比喩的な)胃の強さ」のようなものを指します。
stomach
ここでは比喩的に「(比喩的な)胃の強さ」や「忍耐力」を指します。
to watch
「~を見る」という不定詞で、ここでは have the stomach という表現に続いて、「何に対して胃(忍耐力)がないか」を示します。
the horror movie
「そのホラー映画」を意味する名詞句です。