Customers
「お客様」という人々を指します。
are
be動詞で、主語と状態を結びつけます。
on no account
「決して～ない」「いかなる理由があっても～ない」という強い否定や禁止を表す熟語です。この場合は動詞のallowedを修飾しています。
allowed
「許可されている」という意味のallowの過去分詞形です。be allowed to doで「～することを許されている」という意味になります。
to bring
「持ってくる」「持ち込む」という意味の不定詞句です。
outside food
「外部からの飲食物」を指します。