That
「あの」「その」という意味で、特定のものを指します。
buzzing
「ブンブンいう」「ざわつく」という意味です。buzz(ブンブンいう)のing形が形容詞として使われています。
sound
「音」という意味です。
is starting to
「~し始めている」という意味で、変化の始まりを表します。is start toの進行形ではありません。start toはto不定詞をとり「~し始める」という意味です。
irritate
「~をいらいらさせる」という意味です。starting toの後なので原形が使われています。
me
「私を」という意味で、動詞の目的語になっています。