fall ill with

/fɔːl ɪl wɪð/ フォール イル ウィズ

1. 特定の病気にかかる、病気になる

この表現は、特定の病気や疾患に罹患し、その症状を発症する状況を指します。風邪、インフルエンザ、特定のウイルスなど、具体的な病名や病状を伴う場合に用いられます。病気が始まる、または病気にかかるという過程に焦点が当たっています。
She fell ill with the flu last week. (彼女は先週インフルエンザにかかりました。)

2. 健康を損ねて体調を崩す

この表現は、具体的な診断名がない場合でも、何らかの体調不良や健康上の問題が始まり、進行している状況を指すことがあります。病気にかかる原因や症状が特定されていない、あるいは漠然とした不調を表す際に用いられます。
After his trip, he began to fall ill with unexplained symptoms. (彼の旅行後、彼は原因不明の症状で体調を崩し始めました。)
関連
come down with
get sick with
become unwell with