Big box stores
「大型量販店」という種類の店を複数形にしたものです。
often
「しばしば」「よく」という頻度を表す副詞です。
offer
「提供する」「申し出る」という意味の動詞です。
a wider selection
「より幅広い品揃え」という意味で、比較級のwiderが使われています。
of products
「商品の」という意味で、selectionの内容を示します。
than
比較を表す接続詞で、「～よりも」という意味です。
smaller local shops
「より小さな地元の店」という意味で、比較の対象です。