He's
"He has" または "He is" の短縮形。ここでは「彼が〜している」という意味です。
been going through
「〜を経験している」「〜を通り抜けている」という意味で、現在完了進行形で進行中の経験を表します。
a bad patch
「困難な時期」「不調な期間」という熟語です。
lately
「最近」という意味の副詞です。
but
「しかし」という逆接を表す接続詞です。
I'm sure
「私は確信している」「きっと〜だ」という意味です。
things will improve
「状況が良くなるだろう」という意味です。"things" はここでは漠然とした「状況」を指します。