algebraic number theory

[ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈnʌmbər ˈθiːəri] アルジェブレイク・ナンバー・セオリー

1. 数学の一分野で、代数的整数や数体の構造を研究し、整数論の問題を代数的手法で解明します。

代数的数論は、数の性質、特に整数の性質を探るために、代数学の強力なツール（例えば、環、体、加群の理論）を用いる数学の分野です。伝統的な数論が扱ってきたディオファントス方程式や素数の分布といった問題を、より抽象的な視点からアプローチします。

Algebraic number theory is a major branch of number theory that studies algebraic integers. (代数的数論は、代数的整数を研究する数論の主要な分野です。)

• Algebraic number theory: 代数的数論。数論の一分野です。
• is: 「～である」という存在や状態を表します。
• a major branch: 主要な分野。
• of number theory: 数論の。
• that studies: 研究する。直前の名詞を修飾します。
• algebraic integers: 代数的整数。

He specialized in algebraic number theory during his doctoral studies. (彼は博士課程で代数的数論を専門としました。)

• He: 「彼」という男性を指します。
• specialized in: 「～を専門とする」という意味です。
• algebraic number theory: 代数的数論。数学の一分野です。
• during: 「～の間」という期間を表します。
• his doctoral studies: 彼の博士課程での研究。

Advanced topics in algebraic number theory often involve abstract algebra. (代数的数論の高度なトピックには、しばしば抽象代数学が関わってきます。)

• Advanced topics: 高度なトピック。
• in algebraic number theory: 代数的数論における。
• often: 「しばしば」という頻度を表します。
• involve: 「～を含む」または「～を伴う」という意味です。
• abstract algebra: 抽象代数学。

2. 代数的整数や数体といった概念を導入し、それらの構造を通じて古典的な数論的課題を解決することを目指す学問領域。

この分野は、通常の整数に加えて、特定の多項式の根となる「代数的整数」や、それらを含む「数体」といった概念を探求します。これにより、フェルマーの最終定理のような長年の難問に対し、環論やイデアル論といった代数学の理論を適用する道を開きました。

Many breakthroughs in number theory, including the proof of Fermat's Last Theorem, rely on algebraic number theory. (フェルマーの最終定理の証明を含む数論の多くの進歩は、代数的数論に基づいています。)

• Many breakthroughs: 多くの画期的な発見や進歩。
• in number theory: 数論における。
• including: 「～を含む」という意味です。
• the proof of Fermat's Last Theorem: フェルマーの最終定理の証明。
• rely on: 「～に頼る」「～に基づく」という意味です。
• algebraic number theory: 代数的数論。

Understanding concepts like ideals and unique factorization in number fields is central to algebraic number theory. (数体におけるイデアルや一意分解のような概念を理解することは、代数的数論の中心です。)

• Understanding concepts: 概念を理解すること。
• like: 「～のような」という例示を表します。
• ideals: イデアル。代数学の概念です。
• and unique factorization: そして一意分解。
• in number fields: 数体における。
• is central to: 「～の中心である」という意味です。
• algebraic number theory: 代数的数論。

Modern cryptography often utilizes principles derived from algebraic number theory for secure communications. (現代の暗号学では、安全な通信のために代数的数論から導かれた原理がしばしば利用されます。)

• Modern cryptography: 現代の暗号学。
• often utilizes: 「しばしば利用する」という意味です。
• principles: 原理。
• derived from: 「～から導かれた」という意味です。
• algebraic number theory: 代数的数論。
• for secure communications: 安全な通信のために。

関連

• Number theory
• Algebra
• Field theory
• Galois theory
• Ideal theory
• Commutative algebra