Living
「住むこと」という意味で、動詞 live のing形が名詞として使われています。
in
「～の中に」「～で」という場所や状況を表す前置詞です。
the city that never sleeps
「眠らない街」という意味で、常に活気があり活動が絶えない都市を表す慣用句です。
can be
「～であり得る」「～かもしれない」という可能性や推量を表します。
exhausting
「疲れさせる」「骨の折れる」という意味の形容詞です。
but also
「しかし同時に」「その上」という意味で、前の内容と対比させつつ追加情報を提示します。
exhilarating
「爽快な」「気分を高揚させる」という意味の形容詞です。