Russell's paradox

/ˈrʌsəlz ˈpærədɒks/ ラッセルズ パラドックス

1. 集合論における自己言及的な矛盾の一つで、「自分自身を要素として含まない全ての集合」からなる集合を考えると矛盾が生じることを示します。

ラッセルのパラドックスは、素朴集合論の枠組みでは矛盾が生じることを示したものです。具体的には、「自分自身を要素として含まない全ての集合」からなる集合を考えたとき、その集合が自分自身を要素として含むと仮定すると、定義により自分自身を含まないことになり矛盾します。逆に、その集合が自分自身を要素として含まないと仮定すると、定義により自分自身を含むことになり、これも矛盾します。この矛盾は、数学基礎論における重要な問題提起となりました。

Russell's paradox exposed a fundamental flaw in naive set theory. (ラッセルのパラドックスは、素朴集合論の根本的な欠陥を暴き出しました。)

• Russell's paradox: ラッセルのパラドックス。集合論における有名な自己言及的な矛盾を指します。
• exposed: 明らかにした、暴き出した。何かを公にしたり、隠されていた問題点を示すことを意味します。
• a fundamental flaw: 根本的な欠陥。物事の根幹に関わる重大な問題や不備を指します。
• in naive set theory: 素朴集合論における。集合を直感的に扱う初期の集合論の枠組みを指します。

The discovery of Russell's paradox led to the development of axiomatic set theory. (ラッセルのパラドックスの発見は、公理的集合論の発展につながりました。)

• The discovery of Russell's paradox: ラッセルのパラドックスの発見。
• led to: ～につながった、～を導いた。ある結果や発展の原因となったことを示します。
• the development: 発展、開発。物事が成長したり改善されたりする過程を指します。
• of axiomatic set theory: 公理的集合論の。厳密な公理に基づいて集合を定義する集合論の体系を指します。

Understanding Russell's paradox is crucial for studying the foundations of mathematics. (ラッセルのパラドックスを理解することは、数学の基礎を研究する上で不可欠です。)

• Understanding Russell's paradox: ラッセルのパラドックスを理解すること。
• is crucial: 不可欠である、極めて重要である。成功や目的達成のために非常に大切な要素であることを意味します。
• for studying: ～を研究するために。学問や調査を行う目的を示します。
• the foundations of mathematics: 数学の基礎。数学体系の根幹をなす基本的な概念や原理を指します。

Russell's paradox is a classic example of a self-referential paradox. (ラッセルのパラドックスは、自己言及的なパラドックスの典型的な例です。)

• Russell's paradox: ラッセルのパラドックス。集合論における有名な矛盾を指します。
• is a classic example: 典型的な例である、古典的な例である。あるカテゴリの代表的な事例であることを示します。
• of a self-referential paradox: 自己言及的なパラドックスの。自分自身について語ることで矛盾が生じるタイプのパラドックスを指します。

関連

• Set theory
• Paradox
• Bertrand Russell
• Axiomatic set theory
• Naive set theory
• Self-reference