The
特定のものを指す定冠詞です。ここでは「meeting（会議）」を指しています。
was
「～だった」という意味の be 動詞の過去形です。ここでは、会議が始まった時点での状況を表しています。
formal
「形式的な」「堅苦しい」という意味の形容詞です。会議の雰囲気がそのようなものであったことを示しています。
until
「～まで」という意味の接続詞です。ある時点までの状態が継続していたことを示します。
they
「彼ら」という意味の代名詞です。ここでは、会議の参加者たちを指しています。
broke
「壊す」という意味の動詞 break の過去形です。ここでは、「break the ice（氷を壊す）」という慣用句として使われ、「（雰囲気を）打ち破る」「（緊張を）ほぐす」という意味合いになります。
the
特定のものを指す定冠詞です。ここでは「ice（氷）」、つまり「ぎこちない雰囲気」を指しています。
by
「～によって」という意味の前置詞です。ここでは、具体的な手段や方法を示しています。
sharing
「共有する」という意味の動詞 share の現在分詞です。ここでは、個人的な話を共有することで雰囲気を和ませたことを示しています。
personal
「個人的な」「私的な」という意味の形容詞です。ここでは、公的な話ではなく、個人的な内容の話であることを示しています。
stories.
「物語」「話」という意味の名詞 story の複数形です。ここでは、参加者たちが共有した話の内容を指しています。