Their
「彼らの」という所有を示す代名詞です。
carefully
「注意深く」という意味の副詞です。
laid
「置かれた」「立てられた」という意味のlayの過去分詞で形容詞として使われています。
plan
「計画」を指します。
began
「~し始めた」という意味のbeginの過去形です。
to
不定詞や方向を示す前置詞です。
unravel
ここでは「破綻する」「崩壊する」という意味です。
when
「~するとき」という意味の接続詞です。
unexpected
「予期せぬ」という意味の形容詞です。
problems
「問題」を指すproblemの複数形です。
arose.
「生じた」という意味のariseの過去形です。